[BOJ/Gold 1] 백준 2098 외판원 순회(C++)

문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/2098

 

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

 

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

 

예제 입력 1

4
0 10 15 20
5 0 9 10
6 13 0 12
8 8 9 0

예제 출력 1

35

 

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍

 

풀이

브루트포스로 해결하면 시간이 오래 걸리므로 TSP를 이용해서 해결한다.

먼저 N개의 비용 행렬 W를 입력받는데, 이 때 W[i][j]가 0이라면 i번째 도시에서 j번째 도시로는 이동할 수 없게 된다.

비트마스킹을 이용해서 현재 무슨 도시를 방문했는지를 기록하는데, 도시는 최대 16개까지 등장하므로 비트마스킹 사용이 가능하다.

임의로 1번째 도시에서 출발하기로 한다. 재귀적으로 방문 가능한 다음 도시를 계속 방문해나가면서 무슨 도시를 방문하여 현재 도시까지 왔을 때 드는 비용의 최솟값을 기록한다.

모든 도시를 방문한 경우, 즉 비트마스킹한 수가 (2^N - 1)인 경우 1번째 도시로 돌아올 때 드는 비용을 반환한다.

W[i][j]가 0인 경우 j번째 도시로 가면 안 된다.

방문 상태를 최대 2^N * N개까지 기록할 수 있고, 각 상태마다 N개의 도시를 방문하므로 시간복잡도는 O(2^n * n^2)가 된다.

 

코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define MAX 17
#define INF 1e18
#define FASTIO cin.tie(0); cout.tie(0); ios::sync_with_stdio(false);

using namespace std;
int N;
LL W[MAX][MAX], DP[1 << MAX][MAX];
LL Answer;

void init() {
	for (int i = 0; i < (1 << MAX); i++) {
		for (int j = 0; j < MAX; j++) {
			DP[i][j] = -1;
		}
	}
}

void input() {
	cin >> N;
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		for (int j = 0; j < N; j++) {
			cin >> W[i][j];
		}
	}
}

LL tsp(int Bitmask, int Now) {
	if (Bitmask == (1 << N) - 1) {
		return (W[Now][0] == 0) ? INF : W[Now][0];
	}

	if (DP[Bitmask][Now] != -1) {
		return DP[Bitmask][Now];
	}

	LL MinDist = INF;

	for (int i = 0; i < N; i++) {
		if (W[Now][i] == 0) continue;
		if ((Bitmask & (1 << i)) == 0) {
			LL NextDist = W[Now][i] + tsp(Bitmask | (1 << i), i);
			MinDist = min(MinDist, NextDist);
		}
	}

	return DP[Bitmask][Now] = MinDist;
}

void settings() {
	Answer = tsp(1, 0);
}

void printAnswer() {
	cout << Answer << "\n";
}

int main() {
    FASTIO

	init();
	input();
	settings();
	printAnswer();

    return 0;
}